1. 线性代数中的单位矩阵
在线性代数中，当我们看到方程 AB=EAB = EAB=E 时，EEE 通常表示单位矩阵（Identity Matrix）。
单位矩阵的定义
单位矩阵是一个特殊的方阵，其主对角线（从左上角到右下角的对角线）上的元素全为1，而其余元素全为0。对于 n×nn \times nn×n 的单位矩阵，可以表示为：
![[Pasted image 20250301082401.png]]
常见的记号有 EEE、III 或 InI_nIn（其中 nnn 表示矩阵的阶数）。
单位矩阵的性质
单位矩阵具有以下重要性质：
乘法单位元：对于任何 n×nn \times nn×n 矩阵 AAA，有 A⋅E=E⋅A=AA \cdot E = E \cdot A = AA⋅E=E⋅A=A。这类似于实数中的1，因为任何数乘以1等于它本身。
逆矩阵关系：如果 AB=EAB = EAB=E，那么矩阵 BBB 是矩阵 AAA 的逆矩阵，通常记作 B=A−1B = A^{-1}B=A−1。同样地，AAA 也是 BBB 的逆矩阵，即 A=B−1A = B^{-1}A=B−1。
幂运算：单位矩阵的任何幂都等于它本身，即 En=EE^n = EEn=E，对所有正整数 nnn 成立。
行列式：nnn 阶单位矩阵的行列式等于1，即 ∣E∣=1|E| = 1∣E∣=1。
特征值：单位矩阵的所有特征值都是1。
AB=EAB = EAB=E 的含义
方程 AB=EAB = EAB=E 表明：
矩阵 AAA 和 BBB 互为逆矩阵，即 B=A−1B = A^{-1}B=A−1 且 A=B−1A = B^{-1}A=B−1。矩阵 AAA 和 BBB 都是可逆（非奇异）的。AAA 和 BBB 必须是同阶方阵。
这个关系在解线性方程组、矩阵求逆和线性变换理论中有重要应用。
示例
如果有一个 2×22 \times 22×2 的矩阵 A=(21 11)A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \ 1 & 1 \end{pmatrix}A=(21 11)，要找到满足 AB=EAB = EAB=E 的矩阵 BBB，我们需要计算 AAA 的逆矩阵：
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2. 单位矩阵为啥是对角线是1， 而不是全是1
单位矩阵的对角线元素是1而非所有元素都是1，这是由它的数学目的和功能决定的。
单位矩阵的设计目的
单位矩阵（III）被设计为矩阵乘法中的"恒等元"，类似于实数乘法中的1或加法中的0。对于任何矩阵AAA，我们需要一个特殊矩阵III使得AI=IA=AAI = IA = AAI=IA=A。这个性质要求单位矩阵必须是对角线为1、其余为0的形式。
数学原因
假设我们有一个n×nn \times nn×n矩阵AAA和单位矩阵III，矩阵乘法的定义是:
(AI)ij=∑k=1naik⋅Ikj (AI)_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik} \cdot I_{kj} (AI)ij=k=1∑naik⋅Ikj
为了保证AI=AAI = AAI=A，我们需要:
∑k=1naik⋅Ikj=aij \sum_{k=1}^{n} a_{ik} \cdot I_{kj} = a_{ij} k=1∑naik⋅Ikj=aij
这只有在Ikj=1I_{kj} = 1Ikj=1当k=jk = jk=j时，且Ikj=0I_{kj} = 0Ikj=0当k≠jk \neq jk=j时才成立。这正是对角线为1、其余为0的定义。
实例对比
考虑一个全是1的2×22 \times 22×2矩阵:
![[Pasted image 20250301082737.png]]
![[Pasted image 20250301082756.png]]
显然AJ≠AAJ \neq AAJ=A，所以全1矩阵不能作为单位矩阵。
而对角线矩阵:
![[Pasted image 20250301082816.png]]
这证明了对角线为1的矩阵才能满足单位矩阵的基本性质。
几何解释
从几何角度看，单位矩阵代表"不做任何变换"的线性变换。当向量与单位矩阵相乘时，它们保持不变。如果单位矩阵是全1矩阵，那么它会使所有向量映射到一条线上，这显然改变了向量，不能称为"恒等变换"。