【矩阵原理】伪逆矩阵（pseudo-inverse）
伪逆矩阵的介绍&定义矩阵的逆&伪逆矩阵的伪逆推导
伪逆矩阵的求法直接求解：SVD求解QR求解
伪逆矩阵的应用伪逆矩阵在维基百科中的详细介绍参考链接
伪逆矩阵的介绍&定义
矩阵的逆&伪逆
上图中的右逆矩阵根据维度可知，有所问题，可参考下图矩阵的伪逆推导及其结果。
矩阵的伪逆推导
定义：令A是任意mXn矩阵，称矩阵G是A的广义逆矩阵，若G满足下述条件（Moore-penrose条件）： （1）GAG = G； （2）AGA = A； （3）AG为hermitian矩阵，即（AG）^H=AG； （4）GA为hermitian矩阵，即（GA）^H=GA；
伪逆矩阵的求法
直接求解：
求导，令导数为0，结果如下:
I
n
v
A
=
(
A
T
A
)
−
1
A
T
InvA=(A^TA)^{-1}A^T
InvA=(ATA)−1AT
%直接求伪逆InvA = inv(A’*A)*A’;
SVD求解
SVD分解求伪逆
原理和公式：
SVD分解得到的矩阵:U和V是正交阵，S是对角阵正交阵的逆=转置对角阵的逆=非零元素求倒 Step1: 求解A的SVD分解
[U,S,V] = svd(A); % A = USV’ Step2: 将S中的非零元素求倒
T=S;T(find(S~=0)) = 1./S(find(S~=0)); Step3: 求invA
svdInvA = V * T’ * U’;
QR求解
QR分解求伪逆,适用于稀疏矩阵
原理：
QR分解得到的矩阵:Q是正交阵，R是非奇异上三角阵正交阵的逆=转置上（下）三角矩阵的逆也仍然是上（下）三角矩阵。不必用高斯消去法，向前替换法解方程。但是具体的我不知道怎么用程序来写，这里仍旧用了matlab的函数。 公式：
[Q,R] = qr(A);InvR = inv(R’*R)*R’;qrInvA =InvR*Q’;
伪逆矩阵的应用
(1)信号的检测干扰消除
a=floor(10*rand(4,3)) a = 7 4 2 7 6 6 1 7 6 4 7 1
b=inv(a’*a)*a’ b = 0.1018 0.0650 -0.0959 -0.0180 -0.0263 -0.0767 0.0578 0.1658 -0.0296 0.1149 0.0903 -0.1719
b*a ans = 1.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000 1.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 1.0000
伪逆矩阵在维基百科中的详细介绍
参考链接
伪逆矩阵 伪逆矩阵（广义逆矩阵）